Bilangan Oktal

Pada bilangan binari kita mengenal 2 digit yaitu 1 dan 0. Sedangkan pada bilangan oktal, kita mengenal 8 digit yang meliputi angka 0 hingga 7

Pada bilangan oktal apabila kita ingin melakukan konversi ke bilangan desimal, kita menempatkan angka 8 pada basis. Contoh konversi:

112 dikonversikan ke bilangan desimal

(1*8²) + (1*8¹) + (2*8⁰)

= 64 + 8 +2

= 74

Contoh kedua:

764₈ = 7 x 8² + 6 x 8¹ + 4 x 8° = 448 + 48 + 4 = 500₁₀  <

Bilangan oktal memang jarang digunakan karena pada bahasa assembly lebih sering digunakan bilangan heksadesimal. Namun dengan mempelajari ini akan terasa sangat mudah.

1.1.1    Penjumlahan Pada Oktal

Ada beberapa ketentuan yang perlu kalian ketahui dalam penjumlahan bilangan oktal. Dimana semua ketentuan akan digunakan pada pengurangan dan perkalian. Kalau kalian belum paham betul tentang penjumlahan, saya sarankan jangan mempelajari pada tahap pengurangan dan perkalian. Karena walaupun terlihat susah, namun sebenarnya sangat mudah. Kunci utama yang perlu kalian pahami dalam mempelajari ini adalah teliti, semangat dan pantang menyerah.

Ketentuan yang perlu diketahui adalah:

1. Tambahkan masing-masing basis secara desimal.
2. Kemudian kalian ubah dari hasil desimal ke oktal.
3. Setelah itu kalian tulis hasil dari penjumlahan digit paling kanan dari hasil bilangan oktal.
4. Jika hasil penjumlahan yang dilakukan pada tiap basis terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Kemudian apabila aku menjelaskannya secara rinci, berdasarkan empat ketentuan itu, kira-kira akan seperti ini:

Soal: tambahkan bilangan 9, 6 dan 2.

Ketentuan pertama:

Tambahkan masing-masing basis secara desimal

9 + 6 + 2 = 17

Ketentuan kedua:

Ubah dari hasil desimal ke oktal.

9₍₈₎ + 7₍₈₎ + 2₍₈₎ = 17₍₈₎

Konversikan kebilangan oktal:

17 mod 8 = 2 sisa 1

=21

Demikian cara penjumlahan berdasarkan keempat ketentuan tersebut.

Ada patokan yang perlu kalian ketahui:

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1		2	3	4	5	6	7	10
2			4	5	6	7	10	11
3				6	7	10	11	12
4					10	11	12	13
5						12	13	14
6							14	15
7								16

Mungkin ada kalian yang bertanya: Kenapa dari 7 langsung menuju ke angka 10?

Bilangan oktal adalah bilangan yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dimana nilai maksimal adalah 7. Dan apabila lebih dari 7 maka itu  adalah carry of dan sisanya akan kita jumlahkan pada kolom berikutnya

1 + 6 = 7. ----- > tidak lebih dari 7. Maka tetap.

1 + 7 = 8. ----- > carry of 1 dan sisa 0, maka hasilnya adalah 10 (8 mod 8= hasil 1 sisa 0)

2 + 7 = 11. --- > carry of 1 dan sisa 1, maka hasilnya adalah 11 (9 mod 8= hasil 1 sisa 1)

Dan seterusnya...

Saya sarankan kalian berlatih sendiri dengan membuat soal dan menjawabnya sendiri. Semakin anda banyak berlatih, maka anda akan memahami dengan mudah untuk menemukan jawaban yang rumit sekalipun.

1.1.2    Pengurangan Pada Bilangan Oktal

Sekarang kita mempelajari pengurangan pada bilangan oktal. Saya tidak perlu menjelaskan dengan jelas karena kalian pasti sudah paham dengan penjelasan sebelum ini dimana kalian berpatok pada tabel.

Contoh:

154 – 127 = 25.

Coba anda hitung dengan kalkulator bakul beras! Apa perhitungan saya terlihat berbeda?

Lalu bagaimana dengan perhitungan oktal seperti ini:

154

127

____-

140 + (8 + 4)                        140 + 12

120 +        7                           120 +   7

__________-                    _______-

                                                20+5

                                                =25

Itulah contoh dari perhitungan pengurangan bilangan oktal. Dimana kita tidak akan sepenuhnya bergantung dengan kalkulator bakul beras. Walaupun pada Windows disediakan fitur calculator untuk programmer, tapi ada baiknya kalian menghitung dengan usaha kalian sendiri. Kenapa? Supaya kalian lebih teliti dalam memecahkan suatu masalah yang rumit.

Kemudian kita akan melakukan perhitungan dengan atau tanpa peminjaman digit.  

1. Tanpa terjadi peminjaman digit.

457 – 231 = 226. Tidak percaya?? Coba hitung pake kalkulator bakul beras, calculator programmer atau kalian hitung sendiri secara manual dengan kertas dan pulpen layaknya seorang professor. Pasti hasilnya sama.

2. Dengan peminjaman digit.

324 – 162 = 142

Apabila dijelaskan dalam pemecahan jawaban akan tampak seperti berikut:

                                200                                         200

324                           104                                          104

162-                       1  62 -                                    1   62

_____                   _____                                   _____

    2                              42                                       1   42

Mungkin kalian heran kenapa bisa ada angka 200. Jangan lupa kita berpatok pada tabel penjumlahan.

2.1.3 Perkalian Pada Bilangan Oktal

Penerapannya hampir sama pada penjumlahan, tapi bedanya yang kita gunakan untuk perkalian. Setelah kalian mengalikan tiap-tiap bilangan pada kolom secara desimal, lalu kalian gunakan penjumlahan oktal untuk menuliskan hasilnya.

Contohnya 16 * 24:

16

24*

____

                70

             16

            _______+

            250

 Kalau dijelaskan, 6*4 = 24, kemudian dimodule 8 (24 mod 8 = 3 sisa 0). Kemudian 4 * 1 = 4 ditambah carry of 3 dari hasil penjumlahan sebelumnya (4 + 3 = 7)

Perhatikan Tabel.

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1		1	2	3	4	5	6	7
2			4	6	10	12	14	16
3				11	14	17	22	25
4					20	24	30	34
5						31	36	43
6							44	52
7								61

Pengenalan Sistem Bilangan

1.1 Sistem Bilangan Desimal


Banyak dari kita menggunakan konsep 10 jari untuk menghitung dan menggambarkan sistem bilangan dalam melakukan penjumlahan. Pada sistem bilangan desimal terdapat 10 digit sehingga kita bisa membedakan satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Dan dasar dari bilangan itu adalah:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
Pada bilangan diatas dapat mewakili beberapa nilai bilangan seperti 31254, yang bisa mengartikan:
3 = puluhan ribu, 1 = ribuan, 2 = ratusan, 5 = puluhan dan 4 = satuan
Setiap digit membentuk nilai dari penjumlahan , dan setiap digit harus dikalikan dengan basis untuk dikonversi . Pada tahap ini kita mengalikan dengan bilangan 10 karena kita menggunakan sistem bilangan desimal.
3.104 + 1.103+2.102+5.101+4.100
= 3.10000 + 1.1000 + 2.100 + 5.10 + 4.1
= 30000 + 1000 + 200 + 50 + 4
= 31254

Catatan:

10⁰ = 1                   0⁰ = 1                    x⁰ = 1

1.2 Sistem Bilangan Binari

 Berbeda dengan bahasa pemrograman tingkat tinggi dan bahasa pemrograman tingkat menengah. Komputer hanya menggunakan 2 digit untuk mengenali arus on dan off yang disimbolkan dengan 2 digit. Yaitu 0 (off) dan 1 (on). Dan bisa dibilang komputer tidak sepintar dengan manusia atau tidak sama sekali. Karena kita hanya memberikan instruksi yang sudah kita buat sebelumnya. Komputer menggunakan 2 binari, yaitu:

0, 1

Dan itu semua adalah 2 basis.

Yang perlu kalian ketahui dalam pengelompokan binari kita akan mengenal BIT, NIBBLE, BYTE, WORD, dan DOUBLE WORD.

Bit mewakili satu digit.

Nibble mewakili empat bit.

 Byte mewakili delapan bit.

Word mewakili dua byte.

Double Word mewakili dua word.

Dan untuk lebih jelasnya akan digambarkan seperti berikut:

Pada sistem bilangan binari, akan terdapat imbuhan b pada akhir bilangan binari.

1.2.1 Konversi Bilangan Binari

Seperti yang dibahas sebelumnya. Bilangan binari hanya 2 mengenal simbol, yaitu 0 dan 1. Sehingga Setiap basis akan kita kalikan dengan 2ⁿ dimana n menyatakan nilai yang mewakili pada bilangan tersebut. Dengan kata lain cara perhitungannya sama dengan bilangan desimal namun yang membedakan adalah basis dimana pada bilangan desimal nilai basis adalah 10 sedangkan pada bilangan binari nilai basis adalah 2.

Contoh:

1100 (bisa dibaca seribu seratus) apabila dikonversi ke bilangan desimal maka susunannya akan menjadi seperti ini:

(1.2³) + (1.2²) + (0.2¹) + (0.2⁰)

= (1.8) + (1.4) + (0.2) + (0.1)

= 8 + 4 + 0 + 0

= 12

Kemudian kita lakukan dengan bilangan pecahan.

Misalnya bilangan binari 0,101 kemudian kita konversi ke bilangan desimal:

0,101₂ = A₁ * 2^-1 + A₂ * 2^-2 + A₃ *2^-3

                = 1* ⅟₂ + 0*⅟₄ + 1* ⅟₈

                = ⅟₂ * ⅟₈

                        = ⁴⁺⅟₈

                = ⅝

                = 0,625₍₁₀₎

1.2.2 Operasi Penjumlahan Pada Binari

Penjumlahan pada bilangan binari sebenarnya hampir sama dengan penjumlahan bilangan desimal. Namun kita juga harus memperhatikan beberapa ketentuan.

a.       Setiap digit dari bilangan binari dijumlahkan satu per satu mulai dari posisi basis paling kanan.

b.      Jika hasil penjumlahan antar basis melebihi nilai 1, maka hasil dikurangi dengan nilai 2  kemudian akan dibawa ke basis kiri dengan carry of 1.

Penerapan pada 2 ketentuan akan aku jelaskan pada contoh ini:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Mungin kalian akan bertanya, kenapa penjumlahan 1 + 1 bisa menghaslkan nilai 0. Seperti yang dijelaskan pada ketentuan kedua, apabila hasilnya melebihi satu maka hasil dikurangi dengan nilai 2 dengan carry of 1.

Contoh pertambahan biner: 

Penjumlahan Binari

  

Dengan demikian, jawaban dari hasil 0111 + 0010 adalah 1001. Dan untuk contoh kedua:

1010100 + 1111100 = 11010000

Dari jawaban yang saya berikan, coba anda hitung sendiri. J

1.2.2 Operasi Pengurangan Pada Binari

Berbeda dengan penjumlahan, pengurangan pada binari akan melakukan peminjaman dari basis kanan ke basis kiri apabila diperlukan.

1. Contoh pengurangan tanpa peminjaman basis:

1011 – 0010 = 1001

2. Contoh pengurangan dengan peminjaman pada basis kiri

1101 – 0111 = ?

Pada penyelesaian ini saya tidak akan  menjelaskannya. Namun aku lebih memilih untuk kalian sendiri yang memecahkan soal dan menemukan jawabannya.

Jawabannya adalah 0110. Silahkan cari rumusan jawabannya.

3. Pengurangan dengan komplemen

Pegurangan dengan komplemen pada dasarnya mengubah bentuk pengurangan menjadi bentuk  penjumlahan. Dan terdapa 2 macam kompemen, yaitu koplemen satu dan komplemen 2. Dimana kita akan menegasikan setiap basis (Not) pada bilangan kedua.

Contoh pengurangan dalam ukuran byte (8 bit) yaitu:

1.       0000 0010₍₂₎ – 0000 0011₍₂₎

Perumusan jawaban:

·         Not (bilangan kedua)

Not (0000 0011) = 1111 1100

·         Komplemen dua:  (Not(bilangan kedua) + 1) = ???

                                                                                      (Not(0000 0011) + 1)

                                                                                     (1111 1100 + 1)

                                                                                     = 1111 1101

·         Kemudian kita jumlahkan dengan menambahkan komplemen pertama dan kedua:

o   0000 0010₍₂₎ + 1111 1101₍₂₎ = 1111 1111₍₂₎

2.       0000 1010₍₂₎ – 1100 1100₍₂₎

Berdasarkan penyelesaian diatas, coba kalian selesaikan rumusan jawabannya J

Jawabannya adalah 1111 1111₍₂₎

1.2.3 Operasi Perkalian Pada Binari

Sebenarnya tidak ada yang susah dalam pembahasan ini. Karena setelah kita mengalikan tiap basis pada tiap bilangan, maka kita hanya mengikuti ketentuan kedua pada penjumlahan binari.

Contohnya yaitu:

                                                1110

                                                1100*

                                                _____

                                  0000

                                             0000

                                           1110

                                         1110

                                ___________+

                                         1101000

Pembahasan akan dilanjutkan hari Selasa 
Download buku tentang kesetimbangan Nash untuk membantu meningkatkan logika
http://www.ziddu.com/download/16196775/nashequillibrium.pdf.html